Goldbach

19 Nisan 2019

Christian Goldbach 18. yüzyılın ilk yarısında yaşamış bir Alman matematikçi idi. İsminin bugüne kadar gelmesinde ortaya attığı meşhur hipotezin katkısı büyüktür. 7 Haziran 1742'de, Leonhard Euler'e (evet, sayısı olan) bir mektup yazarak bir hipotezi olduğunu söylemişti. Bu diğer büyük matematik dehasına bunun ispatlanabilir olup olmadığını sormuştu. Bu hipoteze göre, "2’den büyük her çift sayı 2 asal sayının toplamı şeklinde yazılabilir." denmişti.


Goldbach hipotezi bugüne kadar pek çok matematikçi tarafından ispatlanmaya çalışılmış, 4x10^18'e kadar olan tüm sayılarda doğru olduğu gösterilmiş ancak yakın zamana kadar hiçbiri tam bir ispat ortaya koyamamıştır. Yakın zamana kadar dedim çünkü bir süredir ispatlandığına dair makaleler yayınlanmaya başladı.

Bu ispatlardan benim anlayabildiğim ve bu yazıya konu olana geçmeden evvel öncelikle Paris'te yaşayan Perulu (Peruvian demeyi her zaman daha çok sevmişimdir) bilim adamı/matematikçi Helfgott'tan biraz bahsetmeliyim. 2013 yılında Harald Helfgott, 250 yıldır kimsenin çözemediği ve yine Goldbach tarafından ortaya atılan Üçlü Goldbach Hipotezi’ni (Zayıf Goldbach Hipotezi de denir ve şunu söyler: 7'den büyük her tek sayı 3 asal sayının toplamı şeklinde yazılabilir) ispatlayarak ismini tarihe yazdırdı. Bu ispat, matematikçi olmayanların hiç de aşina olmadığı Hardy-Littlewood-Vinogradov çember yönteminin kullandığı ve sayfalarca tutan bir ispattı. Peki kendi başına oldukça büyük öneme sahip olan bu ispat, ardından Goldbach Hipotezi’nin de çözümünü getirebilecek miydi?

Stephen Marshall’a göre Helfgott’un ispatından hareketle, Goldbach Hipotezi için çok basit bir ispat yapılabiliyor. Sanıyorum henüz matematik çevrelerine değil ama bana ispatını kabul ettirdi. Dilerseniz ben de size aktarayım:
 
Helfgott’un ispatından başlayarak:

Her çift sayı = 2k = p1 + p2 + p3 – 1 şeklinde yazılabiliyor. (p1, p2 ve p3 asal sayılar)

Yani, 2k - p3 + 1 = p1 + p2

Bu durumda, ispatlanması gereken 2k - p3+1’in 2'den büyük her çift sayıyı gösterdiği.

2k - p3 + 1’in bir çift sayı olduğunu biliyoruz, zira p3 asal ve tek bir sayı, hakeza 1 de tek. Bu durumda çift sayıdan 2 tek sayıyı çıkarttığımızda yeniden bir çift sayı elde ediyoruz.

Terimlerin yerlerini değiştirerek bu eşitliği şu şekilde de yazabiliriz:

2k - p3 + 1 = 2k – (p3 -1)

2k – (p3 -1) sayısı, 2k’dan (p3-1) kadar küçük tüm çift sayıları gösteriyor.

p3-1 sayısı da örneğin 3-1=2 olabileceğinden 2k-(p3-1) sayısı tüm çift sayılar kümesini göstermektedir.

Bu durumda en başta söylenen

2k - p3 + 1 = p1 + p2 eşitliği, 2n=p1+p2 şeklinde yazılabilir ki bu da Goldbach Hipotezi’dir.

Stephen beni bu ispatla inandırdı. Peki ya sizi?

Yorum yazmak için giriş yapın.
Giriş Yap